Eléments de mathématiques

I. Les objets

1°) Ensembles et éléments




Eléments de mathématiques

Déf : On appelle ensemble toute collection d’objets appelés éléments de cet ensemble. Pour signifier qu’un
élément x appartient à un ensemble E , on écritx ∈ E . Sinon, on écrit x ∉ E .
Déf : Deux ensembles E et F sont dits égaux ssi ils sont constitués des mêmes éléments. On note
alors E = F .
Déf : On appelle ensemble vide, noté ∅ , l’ensemble constitué d’aucun élément.
Déf : Etant donnés deux ensembles E et F , on appelle intersection de E et F l’ensemble E ∩F formés des
éléments communs à E et F .
Déf : Etant donnés deux ensembles E et F , on appelle union de E et F l’ensemble E ∪ F formés des
éléments de l’un et l’autre ensemble.

2°) Inclusion
E désigne un ensemble.
Déf : Un ensemble F est dit inclus dans E ssi tout les éléments de F sont aussi éléments de E . On note
alors F ⊂ E .
Déf : On appelle partie (ou sous-ensemble) de E , tout ensemble F dont les éléments sont tous éléments de E .
Déf : On appelle ensemble des parties de E l’ensemble noté P ( ) formé des sous-ensembles de E .

3°) Produit cartésien
a) couple
Déf : A partir de deux éléments a etb , on forme le couple ( , ) défini de sorte que : ( , ) = ( , )′ ′ ssi a = a′
etb =b′ .
Déf : On appelle produit cartésien de E par F l’ensemble formé des couples ( , ) avec a dans E et b
dans F . On le note E ×F .
b) multiplet
Déf : A partir d’éléments a1,...,an (avec n ∈ ℕ* ), on forme le n uplet ( ,...,a1an) défini de sorte que :
( ,a1…,an) = ( ,a1′ …,an′ ) ssi pour tout i ∈ {1,…,n } ,ai= ai′ .
Déf : On appelle produit cartésien des ensembles E1,..., En (avec n ∈ ℕ * ) l’ensemble formé des n uplets
( ,...,a1an) avec pour tout i ∈ {1, 2,…,n} ,ai∈ Ei.
n
On le note E1× ×En ou encore ∏Ei.
i=
1
4°) Fonctions et applications
E et F désignent des ensembles
Déf : Une application (ou fonction) f de E vers F est une « manipulation » qui à chaque élément x de E
associe un et un seul élément y de F .
L’élément y est alors noté f x( ) et est appelé image de x par f .

On note :

→ F pour signifier que f est une application de E versF .

On note F ( , ) l’ensemble des applications de E vers F .

II. Notions de logique

1°) Assertion
Déf : On appelle assertion toute phrase mathématique significative susceptible d’être vraie (V) ou fausse (F).
Déf : Deux assertions P et Q ayant mêmes valeurs de vérité sont dites équivalentes et on note P ∼Q .